图灵导读_《微积分入门》_第一天_集合与函数的基本性质

知识点总览

1，集合的基本概念；
2，交集、并集、补集、全集、子集、空集；
3，函数的基本概念；
4，映射与函数。

集合的基本概念

由确定的研究对象构成的总体叫做集合，集合的作用是归集（或归纳）与界定。

集合的性质：
1，元素的确定性；
2，元素的互异性；
3，元素的无序性；-> 暗示可以排序也可以不排序

共同特征，归集的条件，门槛

E = { x∈Z | x=2k+1 k∈Z }

x 表示这个集合中的元素一般形式，它表示的形式为整数集
| 起分界作用
{} 起界定作用

交集、并集、补集、全集、子集、空集；

任意元素a∈集合A，都有元素a∈集合B，那么集合A是集合B的子集；

任意集合A中的元素a 属于集合B，且任意集合B中的元素b 属于集合A，那么集合A等于集合B（元素绝对相等）；

集合的基数 / 集合的势：一个集合中包含元素的个数。

例如，A = {1,2,3}，那么集合A的势为 |A| = 3。

空集：不含有任何元素的集合叫做空集，表示 A ≠ ∅；∅ = {} = {x| x≠x}

反证法

证明：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

假设 A是任意一个集合
假设 ∅ 不是 集合A的子集
那么至少有一个元素a∈∅，且a∉集合A
不可能，因为空集中是不含任何元素的，所以假设不成立，因此证明了：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

一个例子了解交集、并集和补集

假设集合A表示会唱歌的同学，集合B表示会跳舞的同学，那么

交集：既会唱歌又会跳舞，A∩B；

笛卡尔积(直积)

A={1,2,3}，B={a,b,c}
AxB={(a,b)| a∈A,b∈B}，构成一个有序的元素对->AxB的元素
AxB={(1,a)(1,b)(1,c)(2,a)(2,b)(2,c)(3,a)(3,b)(3,c)}

BxA={(a,1)(a,2)(a,3)(b,1)(b,2)(b,3)(c,1)(c,2)(c,3)}

所以通常情况下 AxB ≠ BxA

所以笛卡尔积不满足交换律。

它有什么用？

假设一个食堂提供主食A={馒头，包子，米饭，面条}
假设一个食堂提供饮料B={可乐，豆浆，奶茶，果汁}
假设一个食堂提供甜点C={土豆泥，冰淇淋，苹果派，蛋挞}

假设一个学生必须吃一种主食，一种饮料，一种甜点，所以

AxBxC = {(a,b,c)| a∈A,b∈B,c∈C}

|A|=4 * |B|=4 * |C|=4 -> 64种吃法

函数与映射

函数在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系：输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。

注：映射的范围包含于函数。

假设 y = f(x),x∈A
在集合A中任意一个元素x都与集合B中的f(x)一一对应

{(x,y)∈RxR|y=f(x),x∈A} ——函数图像的集合表示法。

注意

集合中的符号

Q-有理数集，Z-整数集，N-自然数集，R-实数集

通常大写拉丁字母表示集合，小写拉丁字母表示元素

集合相等的定义 -> 元素必须绝对相等；

任意—表示所有

小结

本节课是图灵导读01期《微积分入门》的第一节课，主要重温了集合，函数、映射这些基础知识。

不会飞的章鱼